Question

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線在點處的切線與軸垂直．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）設，對任意，證明：．

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）求出，根據(jù)曲線在點處的切線與軸垂直即切線斜率為，求出的值，解即得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）由于，所以整理得，分別證明時，和，根據(jù)（1）可知：當時，由（1）知成立；當時，，，即證，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究其在單調(diào)性，求出其在上的最大值即可證得，再構造函數(shù)，利用導數(shù)求出其最小值，根據(jù)不等式的性質即可得到要證明的結論.

試題解析：（1）因為，由已知得，∴．

所以，

設，則，在上恒成立，即在上是減函數(shù)，

由知，當時，從而，當時，從而．

綜上可知，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．

（2）因為，要證原式成立即證成立，

現(xiàn)證明：對任意恒成立，

當時，由（1）知成立；

當時，，且由（1）知，∴．

設，則，

當時，，當時，，所以當時，取得最大值． 所以，即時，．

綜上所述，對任意．①

令，則恒成立，所以在上遞增，

恒成立，即，即．②

當時，有；當時，由①②式，，

綜上所述，時，成立，故原不等式成立