Question

已知數列{a_n}的遞推公式為

a1=2 an+1=3an+1

，bn=an+

1

2

（n∈N^*），
（1）求證：數列{b_n}為等比數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：b1=a1+

1

2

=2+

1

2

=

5

2

，結合題意可得：bn+1=an+1+

1

2

=3an+1+

1

2

=3(an+

1

2

)=3bn，進而得到答案．
（2）首先由（1）求出數列b_n的通項公式，再根據a_n與b_n的關系得到an=

5

2

×3n-1-

1

2

．

解答：解：（1）由題意可得：a₁=2，
所以b1=a1+

1

2

=2+

1

2

=

5

2

，
又因為a_n+1=3a_n+1，bn=an+

1

2

，
所以bn+1=an+1+

1

2

=3an+1+

1

2

=3(an+

1

2

)=3bn，
所以數列{b_n}是一個以

5

2

為首項，3為公比的等比數列．---------（6分）
（2）由（1）得bn=

5

2

×3n-1，
因為bn=an+

1

2

，
所以可得an+

1

2

=

5

2

×3n-1，
所以an=

5

2

×3n-1-

1

2

（n∈N^*）．---------（10分）

點評：本題主要考查數列的遞推式之間的相互轉化，以及等比數列的判定與等比數列的通項公式．