Question

已知中心在原點，長軸在x軸上的橢圓的兩焦點間的距離為

3

，若橢圓被直線x+y+1=0截得的弦的中點的橫坐標為-

2

3

，求橢圓的方程．

Answer 1

考點：橢圓的標準方程

專題：

分析：首先，設橢圓的標準方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0），然后，設出直線與橢圓的兩個交點坐標，然后，將這兩個交點坐標代入橢圓方程，兩個方程相減，得到關于a，b的一個方程，再結合給定的a，c的關系式，求解即可．

解答： 解：設橢圓的標準方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵橢圓被直線x+y+1=0截得的弦的中點的橫坐標是-

2

3

，
∴弦的中點的縱坐標是-

1

3

，
設橢圓與直線x+y+1=0的兩個交點為P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
則有

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

=1 ①

x 2 2

a2

+

y 2 2

b2

=1 ②
①-②，化簡得

(x1+x2)(x1-x2)

a2

+

(y1+y2)(y1-y2)

b2

=0 ③
x₁+x₂=2×（-

2

3

）=-

4

3

，
y₁+y₂=2×（-

1

3

）=-

2

3

，
且

y1-y2

x1-x2

=-1，
∴由③得a²=2b²，
又由題意2c=

3

，有c=

3

2

，
則可求得c²=

3

4

=b²，a²=

3

2

，
∴橢圓的標準方程為：

x2

3 2

+

y2

3 4

=1．

點評：本題重點考查了橢圓的幾何性質、標準方程、直線與橢圓的位置關系等知識，屬于中檔題，涉及到弦的中點問題，處理思路是“設而不求”的思想．