Question

下列說法中正確的序號是：

②③

①函數y=x -

3

2

的定義域是{x|x≠0}；
②函數f（x）=

3+2x

1+x

(x＞0)的值域是（2，3）；
③函數y=lg

1-x

1+x

在定義域上為奇函數；
④若3^x+3^-x=2

2

，則3^x-3^-x的值為2．

Answer 1

分析：將函數的解析式化為根式，進而根據使函數解析式有意義的原則求出函數的定義域，可判斷①；
利用分離常數法和分析法，求出函數f（x）=

3+2x

1+x

(x＞0)的值域，可判斷②；
分析函數的定義域是否關于原點對稱，并判斷f（-x）+f（x）=0是否成立，進而根據奇函數的定義，可判斷③；
利用平方法，根據3^x+3^-x=2

2

，求出（3^x-3^-x）²=4，但由于3^x與3^-x的大小不確定，故3^x-3^-x=±2，可判斷④．

解答：解：函數y=x -

3

2

=

1

x3

，要使函數的解析式有意義，自變量須滿足x＞0，故函數y=x -

3

2

的定義域是{x|x＞0}，故①錯誤；
函數f（x）=

3+2x

1+x

=2+

1

1+x

，當x＞0時，0＜

1

1+x

＜1，故2+

1

1+x

∈（2，3），故②函數f（x）=

3+2x

1+x

(x＞0)的值域是（2，3）正確；
函數y=f（x）=lg

1-x

1+x

的定義域為（-1，1）關于原點對稱，則f（-x）+f（x）=lg

1+x

1-x

+lg

1-x

1+x

=lg（

1+x

1-x

•

1-x

1+x

）=lg1=0，故函數③函數y=lg

1-x

1+x

在定義域上為奇函數正確；
若3^x+3^-x=2

2

，故（3^x+3^-x）²=3^2x+3^-2x+2=8，故3^2x+3^-2x=6；故（3^x-3^-x）²=3^2x+3^-2x-2=4，故3^x-3^-x=±2，故④錯誤
故答案為：②③

點評：本題考查的知識點是對數函數的圖象和性質，函數的奇偶性的定義，有理數指數冪與根式，函數的定義域，是函數圖象和性質的綜合應用，難度中檔．