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已知橢圓C： $數(shù)學公式$ （a＞b＞0）經(jīng)過點（ $數(shù)學公式$ ， $數(shù)學公式$ ），一個焦點是F（0，- $數(shù)學公式$ ）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C與y軸的兩個交點為A₁、A₂，點P在直線y=a²上，直線PA₁、PA₂分別與橢圓C交于M、N兩點．試問：當點P在直線y=a²上運動時，直線MN是否恒經(jīng)過定點Q？證明你的結(jié)論．

解：（I）一個焦點是F（0，- $\text{[math]}$ ），故c= $\text{[math]}$ ，可設(shè)橢圓方程為 $\text{[math]}$ …（2分）
∵點（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）在橢圓上，∴ $\text{[math]}$
∴b²=1， $\text{[math]}$ （舍去）
∴橢圓方程為 $\text{[math]}$ …（4分）
（II）直線MN恒經(jīng)過定點Q（0，1），證明如下：
當MN斜率不存在時，直線MN即y軸，通過點Q（0，1），…（6分）
當點P不在y軸上時，設(shè)P（t，4），A₁（0，2）、A₂（0，-2），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
直線PA₁方程y= $\text{[math]}$ ，PA₂方程y= $\text{[math]}$ ，
y= $\text{[math]}$ 代入 $\text{[math]}$ 得（1+t²）x²+2tx=0，
得x₁=- $\text{[math]}$ ，y₁= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，…（8分）
y= $\text{[math]}$ 代入 $\text{[math]}$ 得（9+t²）x²-6tx=0
得x₂= $\text{[math]}$ ，y₂= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，…（10分）
∴k_QM=k_QN，∴直線MN恒經(jīng)過定點Q（0，1）． …（12分）
分析：（I）假設(shè)橢圓方程，利用點（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）在橢圓上，即可確定橢圓方程；
（II）先確定直線MN恒經(jīng)過定點Q（0，1），再證明：當MN斜率不存在時，直線MN即y軸，通過點Q（0，1）；當點P不在y軸上時，確定直線PA₁，PA₂與橢圓方程聯(lián)立，確定交點坐標，進而可得斜率，由此可得結(jié)論．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線恒過定點，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，聯(lián)立方程確定交點坐標是關(guān)鍵．

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已知橢圓C：

（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），離心率為

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知一直線l過橢圓C的右焦點F₂，交橢圓于點A、B．
（ⅰ）若滿足

（O為坐標原點），求△AOB的面積；
（ⅱ）當直線l與兩坐標軸都不垂直時，在x軸上是否總存在一點P，使得直線PA、PB的傾斜角互為補角？若存在，求出P坐標；若不存在，請說明理由．

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（13分）已知橢圓C：（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F₁（﹣1，0），F(xiàn)₂（1，0），且橢圓C經(jīng)過點．

（I）求橢圓C的離心率：

（II）設(shè)過點A（0，2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點，點Q是線段MN上的點，且，求點Q的軌跡方程．

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（12分）已知橢圓C：（a＞b＞0）的一個頂點為A（2,0），離心率為，直線y=k（x-1）與橢圓C交于不同的兩點M、N.

①求橢圓C的方程.

②當⊿AMN的面積為時，求k的值.

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