Question

若正整數，則稱a₁×a₂×…×a_n為N的一個“分解積”．
（Ⅰ）當N分別等于6，7，8時，寫出N的一個分解積，使其值最大；
（Ⅱ）當正整數N（N≥2）的分解積最大時，證明：中2的個數不超過2；
（Ⅲ）對任意給定的正整數N（N≥2），求出a_k（k=1，2，…，n），使得N的分解積最大．

Answer 1

【答案】分析：（I）將6，7，8分別進行分解，然后寫出它們的一個分解積，使其值最大即可；
（II）由（Ⅰ）可知，a_k（k=1，2，…，n）中可以有2個2，當a_k（k=1，2，…，n）有3個或3個以上的2時，可舉反例說明，從而證得結論；
（Ⅲ）討論a_k（k=1，2，…，n）中有1，有2，有4的個數，以及有大于4的數，從而得到a_k（k=1，2，…，n）中只能出現2或3或4，且2不能超過2個，4不能超過1個，從而可得a_k（k=1，2，…，n），使得N的分解積最大．
解答：解：（Ⅰ）6=3+3，分解積的最大值為3×3=9；                  …（1分）
7=3+2+2=3+4，分解積的最大值為3×2×2=3×4=12；  …（2分）
8=3+3+2，分解積的最大值為3×3×2=18．               …（3分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知，a_k（k=1，2，…，n）中可以有2個2．       …（4分）
當a_k（k=1，2，…，n）有3個或3個以上的2時，
因為2+2+2=3+3，且2×2×2＜3×3，
所以，此時分解積不是最大的．
因此，中至多有2個2．                          …（7分）
（Ⅲ）解：①當a_k（k=1，2，…，n）中有1時，
因為1+a_i=（a_i+1），且1×a_i＜a_i+1，
所以，此時分解積不是最大，可以將1加到其他加數中，使得分解積變大．…（8分）
②由（Ⅱ）可知，a_k（k=1，2，…，n）中至多有2個2．
③當a_k（k=1，2，…，n）中有4時，
若將4分解為1+3，由 ①可知分解積不會最大；
若將4分解為2+2，則分解積相同；
若有兩個4，因為4+4=3+3+2，且4×4＜3×3×2，所以將4+4改寫為3+3+2，使得分解積更大．
因此，a_k（k=1，2，…，n）中至多有1個4，而且可以寫成2+2． …（10分）
④當a_k（k=1，2，…，n）中有大于4的數時，不妨設a_i＞4，
因為a_i＜2（a_i-2），
所以將a_i分解為2+（a_i-2）會使得分解積更大．              …（11分）
綜上所述，a_k（k=1，2，…，n）中只能出現2或3或4，且2不能超過2個，4不能超過1個．
于是，當N=3m（m∈N^*）時，使得分解積最大； …（12分）
當N=3m+1（m∈N^*）時，使得分解積最大；                …（13分）
當N=3m+2（m∈N）時，使得分解積最大．…（14分）
點評：本題主要考查了數列的綜合應用，同時考查了分類討論的數學思想，以及計算能力，屬于難題．