Question

（不等式選講選做題）若ab＞0，且A（a，0）、B（0，b）、C（-2，-2）三點共線，則ab的最小值為

16

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，由A、B、C三點共線，可得k_AB=k_BC，由斜率公式可得2a+2b+ab=0，即ab=-2a-2b，依題意，可得a＜0，b＜0，則-2a-2b＞0，由基本不等式的性質(zhì)可得-2a-2b≥4

ab

，進而可得，ab≥4

ab

，令t=

ab

＞0，可得t²-4t≥0，由一元二次不等式的性質(zhì)可得t即

ab

的范圍，進而易得ab的最小值．

解答：解：根據(jù)題意，A（a，0）、B（0，b）、C（-2，-2）三點共線，可得k_AB=k_BC，
即

b-0

0-a

=

b+2

0+2

，化簡可得2a+2b+ab=0，即ab=-2a-2b，
若ab＞0，要么a＞0且b＞0，要么a＜0且b＜0
直線經(jīng)過第三象限的C（-2，-2），由直線的性質(zhì)可知，a＜0，b＜0
因為a＜0，b＜0，所以-2a-2b＞0且-2a-2b≥2

4ab

=4

ab

，
又因為ab=-2a-2b，所以ab≥4

ab

，
即ab-4

ab

≥0，
令t=

ab

＞0，可得t²-4t≥0，
解可得t≥4或t≤0，
又由t＞0，則t≥4，
即

ab

≥4，ab≥16；
則ab的最小值為16；
故答案為16．

點評：本題考查基本不等式的應(yīng)用，涉及三點共線的問題，有一定的難度；解題的難點在于利用基本不等式對（-2a-2b）變形，可得ab≥4

ab

，進而由一元二次不等式的性質(zhì)來求解．．