Question

（2011•湖北模擬）已知點P（x₀，y₀）是橢圓E：

x2

2

+y2=1上任意一點x₀y₀≠1，直線l的方程為

x0x

2

+y0y=1
（I）判斷直線l與橢圓E交點的個數；
（II）直線l₀過P點與直線l垂直，點M（-1，0）關于直線l₀的對稱點為N，直線PN恒過一定點G，求點G的坐標．

Answer 1

分析：（I）由

x2 2 +y2=1 x0x 2 +y0y=1

，得

x02+2y02

4

x2-x0x+1-y02=0，由

x02

2

+y02=1，知y02=

2-x02

2

，所以x²-2x₀x+x₀²=0，再由根的判別式知直線l與橢圓E只有一個交點．
（II）直線l₀的方程為2y₀x-x₀y-x₀y₀=0．設M（-1，0）關于直線l₀的對稱點N的坐標為N（m，n），則

n m+n =- x0 2y0 2y0• m-1 2 - x0n 2 -x0y0=0

，由此能夠導出直線PN恒過定點G（1，0）．

解答：解：（I）由

x2 2 +y2=1 x0x 2 +y0y=1

，消去y，并整理得

x02+2y02

4

x2-x0x+1-y02=0，…（2分）
∵

x02

2

+y02=1，∴y02=

2-x02

2

，
∴x²-2x₀x+x₀²=0，…（4分）
∴△=4x₀²-4x₀²=0，
故直線l與橢圓E只有一個交點…（5分）
（II）直線l₀的方程為x₀（y-y₀）=2y₀（x-x₀），
即2y₀x-x₀y-x₀y₀=0．…（6分）
設M（-1，0）關于直線l₀的對稱點N的坐標為N（m，n），
則

n m+1 =- x0 2y0 2y0• m-1 2 - x0n 2 -x0y0=0

，
解得

m= 2x03+3x0 2-4x0-4 x02-4 n= 2x04+4x03-4x02-8x0 2y0(4-x02)

．…（8分）
∴直線PN的斜率為k=

n-y0

m-x0

=

x04+4x0 3+2x02-8x0-8

2y0(-x03-3x02+4)

，
從而直線PN的方程為
y-y0= 

x04+4x03+2x02-8x0-8

2y0(-x03-3x02+4)

(x-x0)，
即x=

2y0(-x03-3x02+4)

x04+4x03+2x02-8x0-8

×y+1，
從而直線PN恒過定點G（1，0）．…（12分）

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，橢圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．易錯點是計算量大，容量算錯，要多加注意．