Question

【題目】如圖，某城市小區(qū)有一個(gè)矩形休閑廣場(chǎng)，AB=20米，廣場(chǎng)的一角是半徑為16米的扇形BCE綠化區(qū)域，為了使小區(qū)居民能夠更好的在廣場(chǎng)休閑放松，現(xiàn)決定在廣場(chǎng)上安置兩排休閑椅，其中一排是穿越廣場(chǎng)的雙人靠背直排椅MN（寬度不計(jì)），點(diǎn)M在線段AD上，并且與曲線CE相切；另一排為單人弧形椅沿曲線CN（寬度不計(jì)）擺放．已知雙人靠背直排椅的造價(jià)每米為2a元，單人弧形椅的造價(jià)每米為a元，記銳角∠NBE=θ，總造價(jià)為W元．
（1）試將W表示為θ的函數(shù)W（θ），并寫出cosθ的取值范圍；
（2）如何選取點(diǎn)M的位置，能使總造價(jià)W最小．

Answer 1

【答案】
（1）解：過N作AB的垂線，垂足為F；過M作NF的垂線，垂足為G．

在Rt△BNF中，BF=16cosθ，則MG=20﹣16cosθ

在Rt△MNG中， ，

由題意易得 ，

因此， ，

（2）解：

令W′（θ）=0， ，因?yàn)? ，所以 ．

設(shè)銳角θ1滿足 ，

當(dāng) 時(shí)，W，（θ）＜0，W（θ）單調(diào)遞減；

當(dāng) 時(shí)，W，（θ）＞0，W（θ）單調(diào)遞增．

所以當(dāng) ，總造價(jià)W最小，最小值為 ，

此時(shí) ， ， ，

因此當(dāng) 米時(shí)，能使總造價(jià)最小

【解析】（1）過N作AB的垂線，垂足為F；過M作NF的垂線，垂足為G．構(gòu)建直角三角形，通過解直角三角形、勾股定理和弧長(zhǎng)公式進(jìn)行解答；（2）將（1）中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行變形得到 ．W′（θ）=0， ，因?yàn)? ，所以 ．然后結(jié)合θ的取值范圍進(jìn)行分類討論，利用三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行解答．
【考點(diǎn)精析】利用三角函數(shù)的最值對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為；當(dāng)時(shí)，取得最大值為，則，，．