Question

【題目】某市政府為了引導居民合理用水，決定全面實施階梯水價，階梯水價原則上以住宅（一套住宅為一戶）的月用水量為基準定價：若用水量不超過12噸時，按4元/噸計算水費；若用水量超過12噸且不超過14噸時，超過12噸部分按6.60元/噸計算水費；若用水量超過14噸時，超過14噸部分按7.80元/噸計算水費．為了了解全市居民月用水量的分布情況，通過抽樣，獲得了100戶居民的月用水量（單位：噸），將數據按照[0，2]，（2，4]，…，（14，16]分成8組，制成了如圖1所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）假設用抽到的100戶居民月用水量作為樣本估計全市的居民用水情況．
（ i）現從全市居民中依次隨機抽取5戶，求這5戶居民恰好3戶居民的月用水用量都超過12噸的概率；
（ⅱ）試估計全市居民用水價格的期望（精確到0.01）；
（Ⅱ）如圖2是該市居民李某2016年1～6月份的月用水費y（元）與月份x的散點圖，其擬合的線性回歸方程是 ．若李某2016年1～7月份水費總支出為294.6元，試估計李某7月份的用水噸數．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）（ i）由題意，從全市居民中依次隨機抽取5戶，每戶居民月用水量超過12噸的概率為 ，因此這5戶居民恰好3戶居民的月用水用量都這超過12噸的概率為 ． （ ii）由題設條件及月均用水量的頻率分布直方圖，可得居民每月的水費數據分組與概率分布表如下：

月用水量x（噸）	（0，12]	（12，14]	（14，16]
價格X（元/噸）	4	4.20	4.60
概率P	0.9	0.06	0.04

所以全市居民用水價格的期望E（X）=4×0.9+4.2×0.06+4.6×0.04≈4.04噸
（Ⅱ）設李某2016年1～6月份的月用水費y（元）與月份x的對應點為（xi ， yi）（i=1，2，3，4，5，6），
它們的平均值分別為 ， ，則 ，又點 在直線 上，所以 ，因此y1+y2+…+y6=240，所以7月份的水費為294.6﹣240=54.6元．
設居民月用水量為t噸，相應的水費為f（t）元，則f（t）= ，
t=13，f（t）=6.6×13﹣31.2=54.6，
∴李某7月份的用水噸數約為13噸
【解析】（Ⅰ）（ i）由題意，從全市居民中依次隨機抽取5戶，每戶居民月用水量超過12噸的概率為 ，即可求這5戶居民恰好3戶居民的月用水用量都超過12噸的概率；（ⅱ）由題設條件及月均用水量的頻率分布直方圖，可得居民每月的水費數據分組與概率分布表，即可估計全市居民用水價格的期望（精確到0.01）；（Ⅱ）求出7月份的水費為294.6﹣240=54.6元．居民月用水量為t噸，相應的水費為f（t）元，即可得出結論．