Question

（本小題滿分12分）
有一塊邊長(zhǎng)為4的正方形鋼板，現(xiàn)對(duì)其切割、焊接成一個(gè)長(zhǎng)方體無蓋容器（切、焊損耗忽略不計(jì)）.有人應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)作如下設(shè)計(jì)：在鋼板的四個(gè)角處各切去一個(gè)小正方形，剩余部分圍成一個(gè)長(zhǎng)方體，該長(zhǎng)方體的高是小正方形的邊長(zhǎng).
（1）請(qǐng)你求出這種切割、焊接而成的長(zhǎng)方體容器的最大容積V1；
（2）請(qǐng)你判斷上述方案是否是最佳方案，若不是，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種新方案，使材料浪費(fèi)最少，且所得長(zhǎng)方體容器的容積V2＞V1.

Answer 1

解：（1）設(shè)切去正方形邊長(zhǎng)為x，則焊接成的長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為4-2x，高為x，
∴V1=（4-2x）2x=4（x3-4x2+4x）（0＜x＜2）.                                2分
V′1=4（3x2-8x+4）=12(x-)(x-2).                                         4分
當(dāng)0<x<時(shí)，V′1>0；當(dāng)<x<2時(shí)，V′1<0.                               6分
∴當(dāng)x=時(shí)，V1取最大值.                                            8分
（2）重新設(shè)計(jì)方案如下：
如圖①，在正方形的兩個(gè)角處各切下一個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形；如圖②，將切下的小正方形焊在未切口的正方形一邊的中間；將圖②焊成長(zhǎng)方體容器．
新焊長(zhǎng)方體容器底面是一長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為3，寬為2，此長(zhǎng)方體容積V2=3×2×1=6，顯然V2＞V1.故第二種方案符合要求．                                             12分
V1.故第二種方案符合要求．                                             12分

解析