Question

直線l:y=kx+1與雙曲線C:2x²-y²=1的右支交于不同的兩點A、B.

（1）求實數k的取值范圍；

（2）是否存在實數k,使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）k的取值范圍為-2＜k＜-（2）k=-使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點

解析:

（1）將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程2x²-y²=1后，整理得(k²-2)x²+2kx+2=0                                  ①

依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點，

故

解得k的取值范圍為-2＜k＜-.

(2)設A、B兩點的坐標分別為(x₁,y₁),(x₂,y₂),

則由①式得                                                  ②

假設存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F（c,0），則由FA⊥FB得

（x₁-c）(x₂-c)+y₁y₂=0.

即(x₁-c)(x₂-c)+(kx₁+1)(kx₂+1)=0.

整理得：

(k²+1)x₁x₂+(k-c)(x₁+x₂)+c²+1=0                                            ③

把②式及c=代入③式化簡得

5k²+2k-6=0.

解得k=-或k=(-2,-)（舍去）.

可知k=-使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點.