Question

已知平行于直線2x-y+1=0的直線l與雙曲線

x2

3

-

y2

2

=1交于A，B兩點，且|AB|=4．
（1）求直線l的方程
（2）求△AOB的面積，O為原點．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由兩直線平行的條件，可得直線l：2x-y+t=0，聯立雙曲線方程，消去y，得x的二次方程，運用判別式大于0，韋達定理，以及弦長公式，計算可得t，進而得到所求直線方程；
（2）求出原點到直線l的距離d，再由三角形的面積公式計算即可得到所求值．

解答： 解：（1）設平行于直線2x-y+1=0的直線l：2x-y+t=0，
聯立雙曲線方程2x²-3y²=6，
消去y，得10x²+12tx+3t²+6=0，
判別式144t²-40（3t²+6）＞0，解得，t²＞10．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

6t

5

，x₁x₂=

3t2+6

10

，
則|AB|=

1+4

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

•

36t2 25 - 12t2+24 10

=4，
解得，t²=

70

3

＞10成立，即有t=±

210

3

則直線l的方程為y=2x±

210

3

；
（2）原點到直線l的距離d=

210 3

1+4

=

42

3

，
則△AOB的面積S=

1

2

•d•|AB|=

1

2

×

42

3

×4=

2 42

3

．

點評：本題考查直線方程和雙曲線方程聯立，消去未知數，運用韋達定理和弦長公式，考查兩直線的平行的條件及點到直線的距離公式，考查運算能力，屬于中檔題．