Question

（本題滿分14分）

如圖所示，已知曲線與曲線交于點O、A，直線(0<t≤1)與曲線C₁、C₂分別相交于點D、B，連接OD、DA、AB。

（1）寫出曲邊四邊形ABOD（陰影部分）的面積S與t的函數關系式；

（2）求函數在區間上的最大值。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由

解得或（2分）∴O（0，0），A（a,a²）。

又由已知得B（t,-t²+2at）,D(t,t²),

∴  

     …… 6分

（2）=t²-2at+a²,令=0，即t²-2at+a²=0。解得t=(2-)a或t=(2+)a.

∵0<t≤1,a>1,  ∴t=(2+)a應舍去。  即t=(2-)a                    8分

若(2-)a≥1,即a≥時， ∵0<t≤1，∴≥0。

∴在區間上單調遞增，S的最大值是=a²-a+.            10分

若(2-)a<1,  即1<a<時，

當0<t<(2-)a時，.                                      

當(2-)a<t≤1時，.

∴在區間(0, (2-)a]上單調遞增，在區間[(2-)a，1]上單調遞減。

∴=(2-)a是極大值點，也是最大值點                                 12分

∴的最大值是f((2-)a)=[ (2-)a]³-a[(2-)a]²+a²(2-)a=.13分

綜上所述。   …… 14分【解析】略