Question

如圖，四棱錐的底面為一直角梯形，側面PAD是等邊三角形，其中，，平面底面，是的中點．

(1)求證：//平面；
(2)求證：；
(3)求三棱錐的體積．

Answer 1

（1）祥見解析；（2）祥見解析；（3）．

解析試題分析：（1）證BE∥平面PAD，可先取CD的中點為M，構建平面EBM，證明平面EBM∥平面APD，由面面平行，得到線面平行；
（2）取PD的中點F，連接FE，根據線面垂直的判定及性質，及等腰三角形性質，結合線面垂直的判定定理可得AF⊥平面PDC，又由BE∥AF，可得BE⊥平面PDC；
（3）利用等體積法，由V_P-ACD=V_C-PAD，即可求三棱錐P-ACD的體積V．
試題解析：（1）證明：如圖，
取PD的中點F，連接EF、AF，則在三角形PDC中
∴EF∥CD且，AB∥CD且；
∴EF∥AB且，∴四邊形ABEF是平行四邊形，    2分
∴BE∥AF，而BE平面PAD，而AF?平面PAD，
∴BE∥平面PAD；        4分

（2）證明：在直角梯形中，
平面底面，
平面底面=AD

∴CD⊥平面PAD，
， ∴CD⊥AF
由（1）BE∥AF， ∴CD⊥BE         10分
（3）解:由（2）知∴CD⊥平面PAD，
△PAD是邊長為1的等邊三角形

∴三棱錐的體積=             14分
考點：1．直線與平面平行的判定;2．直線與平面垂直的判定;3．棱柱、棱錐、棱臺的體積．