Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓： 的離心率，且橢圓上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離最大值為4，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 或.

【解析】試題分析：（1）由離心率及可得關(guān)于的方程，由此可簡(jiǎn)化橢圓方程，設(shè)，則可表示為的函數(shù)，據(jù)此可求得其最大值，解得，即可求出橢圓的方程；（2）設(shè)， ， ， 的方程為，與橢圓聯(lián)立方程消掉得關(guān)于的一元二次方程，由得，由韋達(dá)定理及可用表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程得，再由弦長(zhǎng)公式及可得，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）∵

∴，則橢圓方程為，即

設(shè)，則

當(dāng)時(shí)， 有最大值為，

解得

∴，橢圓方程是

（2）設(shè)， ， ， 的方程為，

由，整理得

由，得

， ，

∴，

則，

由點(diǎn)在橢圓上，得

化簡(jiǎn)得①

又由，即

，將， 代入得

，

化簡(jiǎn)，得，

則

∴②

由①，得，

聯(lián)立②，解得

∴或