Question

如圖所示，正方形AA₁D₁D與矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．
（1）求證：BD₁∥平面A₁DE；
（2）求證：D₁E⊥A₁D；
（3）在線段AB上是否存在點(diǎn)M，使二面角D₁-MC-D的大小為？若存在，求出AM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）O是AD₁的中點(diǎn)，連接OE，由中位線定理可得EO∥BD₁，再由線面平行的判定定理可得BD₁∥平面A₁DE；
（2）由正方形AA₁D₁D與矩形ABCD所在平面互相垂直，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得AB⊥平面ADD₁A₁，進(jìn)而線線面垂直的性質(zhì)定理得到AB⊥A₁D，結(jié)合A₁D⊥AD₁及線面垂直的判定定理，可得A₁D⊥平面AD₁E，進(jìn)而D₁E⊥A₁D；
（3）以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA，DC，DD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)M（1，y，0）（0≤y≤2），分別求出平面D₁MC的法向量和平面MCD的一個(gè)法向量，根據(jù)二面角D₁-MC-D的大小為，結(jié)合向量夾角公式，構(gòu)造關(guān)于m的方程，解方程可得M占的坐標(biāo)，進(jìn)而求出AM長(zhǎng)．
解答：證明：（1）四邊形ADD₁A₁為正方形，O是AD₁的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連接OE．
∴EO為△ABD₁的中位線∴EO∥BD₁…（2分）
又∵BD₁?平面A₁DE，OB?平面A₁DE∴BD₁∥平面A₁DE  …（4分）
（2）由已知可得：AE⊥平面ADD₁A₁，A₁D?平面ADD₁A₁
∴AE⊥A₁D，
又∵A₁D⊥AD₁，AE∩AD₁=A
∴A₁D⊥平面AD₁E，D₁E?平面AD₁E
∴A₁D⊥D₁E…．（4分）
解：（3）由題意可得：D₁D⊥平面ABCD，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA，DC，DD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），C（0，2，0），A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），
設(shè)M（1，y，0）（0≤y≤2），∵
設(shè)平面D₁MC的法向量為n₁=（x，y，z）則，得 
取D₁MC是平面D₁MC的一個(gè)法向量，而平面MCD的一個(gè)法向量為n₂=（0，0，1）要使二面角D₁-MC-D的大小為，
而
解得：，當(dāng)AM=時(shí)，二面角D₁-MC-D的大小為…（6分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，直線與平面平行的判定，其中（1）的關(guān)鍵是證得EO∥BD₁，（2）的關(guān)鍵是熟練掌握線線垂直，線面垂直與面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，（3）的關(guān)鍵是設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，求出兩個(gè)半平面的法向量，然后結(jié)合向量夾角公式構(gòu)造方程．