Question

（理科）（13分）在如圖所示的空間幾何體中，平面平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角為60°，且點E在平面ABC上的射影落在的平分線上.

（1）求證：DE//平面ABC；（2）求二面角E—BC—A的余弦；

（3）求多面體ABCDE的體積.

Answer 1

（理科）解：（1）由題意知， 都是邊長為2的等邊三角形，

       取AC中點O，連接BO，DO，則

       平面ACD平面ABC

       平面ABC，作EF平面ABC，

       那么EF//DO，根據題意，點F落在BO上，

       ，易求得

       所以四邊形DEFO是平行四邊形，DE//OF；

       平面ABC，平面ABC，

       平面ABC…………4分

   （2）作FGBC，垂足為G，連接FG；

       平面ABC，根據三垂線定理可知，EGBC

       就是二面角E—BC—A的平面角

      

      

       即二面角E—BC—A的余弦值為…………8分

   （3）平面ACD平面ABC，OBAC

       平面ACD；又

       平面DAC，三棱錐E—DAC的體積

      

       又三棱錐E—ABC的體積

       多面體DE—ABC的體積為V=V₁-V₂=…………13分