Question

如果以原點為圓心的圓經過雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的頂點，并且被雙曲線的右準線分成弧長之比為3：1的兩段弧，則雙曲線的離心率為

2

．

Answer 1

分析：由題意可得圓O的圓心為原點，半徑為a．根據圓O被雙曲線的右準線分成弧長之比為3：1的兩段弧，得到直線x=

a2

c

被圓O截得A、B兩點，△AOB是以AB為斜邊的等腰直角三角形，由此可得

a2

c

=

2

2

a，由此解出離心率

解答：解：∵雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的頂點坐標為（±a，0），
∴圓O的方程為x²+y²=a²
∵雙曲線的右準線：x=

a2

c

交圓O于AB兩點，優弧AB長是劣弧AB的3倍
∴∠AOB=90°，可得△AOB是以AB為斜邊的等腰直角三角形
所以

a2

c

=

2

2

a，可得e=

c

a

=

2

故答案為：

2

點評：本題以直線與圓相交構成等腰直角三角形為例，求雙曲線的離心率，著重考查了直線與圓的位置關系和雙曲線的簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．