Question

（2011•河北區一模）設有關于x的一元二次方程x²+ax+b²=0
（Ⅰ）若a是從1，2，3，4，5五個數中任取的一個數，b是從0，1，2三個數中任取的一個數，求上述方程有實根的概率；
（Ⅱ）若a是從區間[1，5]任取的一個數，b是從區間[0，2]任取的一個數，求上述方程有實根的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）屬于古典概型，列舉法求出基本事件的個數，利用概率公式可得結論；
（Ⅱ）屬于幾何概型，以面積為測度，即可求得概率．

解答：解：設事件A為“方程x²+ax+b²=0有實根”，
當a＞0，b＞0時，方程x²+ax+b²=0有實根的充要條件為a≥2b．…（2分）
（Ⅰ）基本事件共15個：（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），（4，0），（4，1），（4，2），（5，0），（5，1），（5，2），其中第一個數表示a的取值，第二個數表示b的取值．…（4分）
事件A中包含11個基本事件，（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（4，0），（4，1），（4，2），（5，0），（5，1），（5，2）．…（6分）
∴事件A發生的概率為P(A)=

11

15

．…（8分）
（Ⅱ）試驗的全部結果所構成的區域為{（a，b）|1≤a≤5，0≤b≤2}．
構成事件A的區域為{（a，b）|1≤a≤5，0≤b≤2，a≥2b}．…（10分）
所以所求的概率為P(A)=

4×2- 1 2 × 3 2 ×3

4×2

=

23

32

．…（13分）

點評：本題考查概率的計算，考查學生分析解決問題的能力，確定概率的類型是關鍵．