Question

通過(guò)研究函數(shù)f（x）=2x⁴-10x²+2x-1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)一步研究可得g（x）=2xⁿ+10x²-2x-1（n≥3，n∈N）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

 

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Answer 1

分析：對(duì)函數(shù)f（x）=2x⁴-10x²+2x-1進(jìn)行求導(dǎo)，求得函數(shù)的極值，單調(diào)性，判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，對(duì)于函數(shù)g（x）=2xⁿ+10x²-2x-1（n≥3，n∈N）用同樣的方法可得，注意計(jì)算時(shí)整體代換．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=2x⁴-10x²+2x-1，
∴f′（x）=8x³-20x+2=2（4x³-10x+1）
在f′（x）=0時(shí)，
f（x）=2x⁴-10x²+2x-1，
=2x⁴-5x²+

1

2

x-5x²+

3

2

x-1，
=

1

2

（4x³-10x+1）-5x²+

3

2

x-1=-5x²+

3

2

x-1，
由于判別式△＜0，所以，f（x）的所有極值均是負(fù)數(shù)．
又因?yàn)楫?dāng)x趨向于負(fù)無(wú)窮和正無(wú)窮時(shí)均為無(wú)窮大，
所以，零點(diǎn)有兩個(gè)．
對(duì)任意g（x）=2xⁿ+10x²-2x-1（n≥3，n∈N）
也有，g'（x）=0時(shí)有，
g（x）=（

20

n

-10）x²+（2-

2

n

）x-1
可知n＞3時(shí)，其判別式△＜0
所以，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)
n為奇數(shù)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)，
故答案為

2，n為偶數(shù)時(shí) 3，n為奇數(shù)時(shí)

．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．考查函數(shù)零點(diǎn)判定定理和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值等問(wèn)題，同時(shí)考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力和計(jì)算能力．