Question

設函數f(x)=

ax

1+ax

(a＞0，且a≠1)，若用m表示不超過實數m的最大整數，則函數[f(x)-

1

2

]+[f(-x)-

1

2

]的值域為

 

．

Answer 1

分析：把所求的式子代入整理可得，[f(x)-

1

2

]+[f(-x)-

1

2

]=[ 

1

2

-

1

1+ax

 ]+[

1

1+ax

-

1

2

 ]由指數函數的性質可得，a^x＞0，0＜

1

1+ax

＜1分①0＜

1

1+ax

＜

1

2

②

1

2

＜

1

1+ax

＜1③

1

1+ax

=

1

2

三種情況討論求解

解答：解：∵f(x)  =

ax

1+ax

=1-

1

1+ax

∴[f(x)-

1

2

]+[f(-x)-

1

2

]=[ 

1

2

-

1

1+ax

 ]+[

1

1+ax

-

1

2

 ]
∵a^x＞0∴0＜

1

1+ax

＜1
當0＜

1

1+ax

＜

1

2

時，[

1

1+ax

-

1

2

]=-1，[

1

2

-

1

1+ax

]=0，原式為-1
當

1

2

＜

1

1+ax

＜1時，[

1

1+ax

-

1

2

 ]=0，[ 

1

2

-

1

1+ax

]=-1，原式為-1
當

1

1+ax

=

1

2

時，時，.[

1

2

-

1

1+ax

]=0，[

1

2

-

1

1+ax

]=0，原式為0
故答案為：{-1，0}

點評：本題主要考查了利用題目中的定義求解函數的值域，解題的關鍵是要根據指數函數的值域可得0＜

1

1+ax

＜1進一步判斷

1

1+ax

與

1

2

的大小關系，從而確定式子的值．