Question

(10分)選修4－1：幾何證明選講.
已知C點(diǎn)在圓O直徑BE的延長(zhǎng)線上，CA切圓O于A點(diǎn)，DC是的平分線交AE于點(diǎn)F，交AB于D點(diǎn).

(1) 求的度數(shù)；
(2) 若AB=AC，求AC:BC.

Answer 1

（1）；(2)

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓周角定理，三角形外角定理，弦切角定理，相似三角形的證明及性質(zhì)等，本題中未給出任何角的度數(shù)，故建立∠ADF必為特殊角，從而根據(jù)圖形分析角∠ADF的大小，進(jìn)而尋出解答思路是解題的關(guān)鍵．
（I）根據(jù)AC為圓O的切線，結(jié)合弦切角定理，我們易得∠B=∠EAC，結(jié)合DC是∠ACB的平分線，根據(jù)三角形外角等于不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和，我們易得∠ADF=∠AFD，進(jìn)而結(jié)合直徑所對(duì)的圓周角為直角，求出∠ADF的度數(shù)；
（II）若AB=AC，結(jié)合（1）的結(jié)論，我們易得∠ACB=30°，根據(jù)頂角為120°的等腰三角形三邊之比為：1：1： 3，易得答案．
解：AC為圓O的切線,∴又知,DC是的平分線,
∴ ∴
即  又因?yàn)锽E為圓O的直徑, ∴
∴
(2),,∴∽∴
又AB="AC," ∴,
∴在Rt⊿ABE中,