Question

對于定義在集合D上的函數(shù)y=f（x），若f（x）在D上具有單調(diào)性且存在區(qū)間[a，b]⊆D（其中a＜b）使當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，f（x）的值域是[a，b]，則稱函數(shù)f（x）是D上的“正函數(shù)”，區(qū)間[a，b]稱為f（x）的“等域區(qū)間”．
（1）已知函數(shù)f（x）=x³是正函數(shù)，試求f（x）的所有等域區(qū)間；
（2）若是正函數(shù)，試求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a，b（a＜b＜1）使得函數(shù)是[a，b]上的“正函數(shù)”？若存在，求出區(qū)間[a，b]，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵f′（x）=3x²≥0
∴f（x）=x³在R上是增函數(shù)
則x∈[a，b]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇a³，b³]
又f（x）=x³是正函數(shù)
∴
故f（x）的等域區(qū)間有三個(gè)：[0，1]，[-1，0]，[-1，1]…
（2）∵在[-2，+∞）上是增函數(shù)
∴x∈[a，b]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇g（a），g（b）]
若是正函數(shù)，則有即
故方程有兩個(gè)不等的實(shí)根．…
即有兩個(gè)不等的實(shí)根
令
數(shù)形結(jié)合知：…
（3）假設(shè)存在區(qū)間[a，b]，使得x∈[a，b]時(shí)，的值域?yàn)閇a，b]，又0∉[a，b]故ab＞0
當(dāng)a＜b＜0時(shí)，在[a，b]上單增．
∴是方程的兩負(fù)根
又方程x²-x+1=0無解
故此時(shí)不存在…
當(dāng)0＜a＜b＜1時(shí)，在[a，b]上單減
∴
故此時(shí)不存在…
綜上可知：不存在實(shí)數(shù)a＜b＜1使得f（x）的定義域和值域均為[a，b]…
分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號可知f（x）=x³在R上是增函數(shù)，則x∈[a，b]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇a³，b³]，最后根據(jù)f（x）=x³是正函數(shù)建立等式關(guān)系，解之即可求出所求；
（2）在[-2，+∞）上是增函數(shù)，則x∈[a，b]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇g（a），g（b）]，根據(jù)是正函數(shù)，建立等式關(guān)系，即有兩個(gè)不等的實(shí)根，數(shù)形結(jié)合即可求出k的范圍；
（3）假設(shè)存在區(qū)間[a，b]，使得x∈[a，b]時(shí)，的值域?yàn)閇a，b]，討論當(dāng)a＜b＜0時(shí)與當(dāng)0＜a＜b＜1時(shí)是否存在實(shí)數(shù)a、b即可．
點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)值域的求解，以及利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，同時(shí)考查了分類討論的思想，屬于中檔題．