Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx+1-2sin²x，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

1

2

，把所得到的圖象再向左平移

π

6

單位，得到的函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[0，

π

8

]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為 2sin(2x+

π

6

)，函數(shù)f（x）的最小正周期為T=π．   由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）根據(jù)條件得 4x+

5π

6

∈[

5

6

π，

4

3

π]，所以當(dāng)x=

π

8

時(shí)，g(x)min=-

3

．

解答：解：（1）因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">f(x)=2

3

sinxcosx+1-2sin2x=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)，
故 函數(shù)f（x）的最小正周期為T=π．   由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．
（2）根據(jù)條件得μ=2sin(4x+

5π

6

)，當(dāng)x∈[0，

π

8

]時(shí)，4x+

5π

6

∈[

5

6

π，

4

3

π]，
所以當(dāng)x=

π

8

時(shí)，g(x)min=-

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和差的正弦公式，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、值域，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為 2sin(2x+

π

6

)，是解題的關(guān)鍵．