Question

（本題16分）

 如圖，有一塊拋物線形狀的鋼板，計劃將此鋼板切割成等腰梯形 的形狀，使得都落在拋物線上，點關于拋物線的軸對稱，且，拋物線的頂點到底邊的距離是，記，梯形面積為．

（1）以拋物線的頂點為坐標原點，其對稱軸為軸建立坐標系，使拋物線開口向下，求出該拋物線的方程；

（2）求面積關于的函數解析式，并寫出其定義域；

（3）求面積的最大值．

                                

Answer 1

解（1）以拋物線的頂點為坐標原點，其對稱軸為軸建立坐標系，

設拋物線方程為：，

由圖得拋物線過點，代入求得，

所以外輪廓線所在拋物線的方程：         ………………………5分

（2）設，，代入拋物線方程得，故梯形的高為  =      …………………9分

又由 解得

其定義域為                                ………………………10分

（3），

令，解得                                  -------------------12分

當時函數在該區間遞增，

當時函數在該區間遞減，           ………………………14分

所以當時函數取得最大值，          ………………………16分