Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，平面，，分別是線段，的中點(diǎn)，．

（I）在棱上找一點(diǎn)，使得平面平面，請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)的位置，并加以證明；

（Ⅱ）求點(diǎn)到平面的距離．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在棱上取其中點(diǎn)為，則平面平面，證明見(jiàn)解析（Ⅱ）

【解析】

（I）在棱上取其中點(diǎn)為,利用線線平行證明面面平行.

（Ⅱ）證平面，點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離,再利用等積法求出距離.

（I）在棱上取其中點(diǎn)為，則平面平面，

證明如下：取中點(diǎn)，連接，，

在正方形中，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)

∴，平面平面，

平面，

又∵是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，

∴，同理可證平面，

且

∴平面平面．

（Ⅱ）由（I）問(wèn)平面平面知平面，

∴到平面的距離等于到平面的距離，

∵平面，∴，

∵，在中，

∵平面，∴，

又∵，，

平面，平面，

∴平面，又∵平面，

∴，故．

∴，∴為直角三角形，

∵，

設(shè)到平面的距離為，則，

∴，∴到平面的距離．