Question

【題目】已知函數f（x）=aln（x+1）﹣x2在區間（0，1）內任取兩個實數p，q，且p≠q，不等式 恒成立，則實數a的取值范圍為（ ）
A.[15，+∞）
B.
C.[1，+∞）
D.[6，+∞）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵f（x）=aln（x+1）﹣x2，

∴f（x+1）=aln（x+2）﹣（x+1）2，

又p，q∈（0，1），且p≠q，不等式 恒成立 恒成立，

即f′（x+1）= ﹣2（x+1）＞1恒成立，其中x∈（0，1）．

整理得：a＞[1+2（x+1）]（x+2）恒成立，x∈（0，1）．

令h（x）=[1+2（x+1）]（x+2），

則a＞[h（x）]max，x∈（0，1）．

∵h（x）=2x2+7x+6，其對稱軸方程為x=﹣ ，h（x）在區間（0，1）上單調遞增，

∴當x→1時，h（x）→15，

∴a≥15，即實數a的取值范圍為[15，+∞），

故選：A．