Question

在平面直角坐標系中，已知橢圓：的離心率，且橢圓C上一點到點Q的距離最大值為4，過點的直線交橢圓于點
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設P為橢圓上一點，且滿足（O為坐標原點），當時，求實數的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）或

解析試題分析：（Ⅰ）利用轉化為二次函數求最值，求得相應值；（Ⅱ）先由點P在橢圓上建立實數與直線的斜率之間的關系，再由求得的范圍，進而求得實數的取值范圍.
試題解析：（Ⅰ）∵ ∴         （1分）
則橢圓方程為即
設則
       （2分）

當時，有最大值為         （3分）
解得∴，橢圓方程是       （4分）
（Ⅱ）設方程為
由
整理得.           （5分）
由，得.
              （6分）
∴
則,
        （7分）
由點P在橢圓上，得
化簡得①                 （8分）
又由
即將，代入得
            （9分）
化簡，得
則,                    （10分）
∴②
由①，得
聯立②，解得∴或     （12分）
考點：1.橢圓的方程；2.直線與橢圓的位置關系；3.弦長公式.