已知橢圓
：
的長軸長為4，且過點
．
（１）求橢圓的方程；
（２）設
、
、
是橢圓上的三點，若
，點
為線段
的中點，
、
兩點的坐標分別為
、
，求證：
．
計算高手系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系
中，直線l與拋物線
相交于不同的兩點A，B.
（I）如果直線l過拋物線的焦點，求
的值；
（II）如果
，證明直線l必過一定點，并求出該定點坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓長軸的左右端點分別為A，B，短軸的上端點為M，O為橢圓的中心，F為橢圓的右焦點，且
·
＝1，｜
｜＝1．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若直線l交橢圓于P，Q兩點，問：是否存在直線l，使得點F恰為△PQM的垂心?若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
經過點
且與直線
相切的動圓的圓心軌跡為
.點
在軌跡上，且關于
軸對稱，過線段
（兩端點除外）上的任意一點作直線
，使直線與軌跡在點
處的切線平行，設直線與軌跡交于點
.
（1）求軌跡的方程；
（2）證明：
；
（3）若點到直線
的距離等于
，且
的面積為20，求直線
的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓的中心在原點，焦點在
軸上，焦距為
，且經過點
，直線
交橢圓于不同的兩點A，B.
(1)求
的取值范圍；，
(2)若直線
不經過點
，求證：直線
的斜率互為相反數.
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已知，橢圓C過點
，兩個焦點為
．
(1)求橢圓C的方程；
(2)
是橢圓C上的兩個動點，如果直線
的斜率與
的斜率互為相反數，證明直線
的斜率為定值，并求出這個定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在平面直角坐標系
中，已知
，
，
，直線
與線段
、
分別交于點
、
.
（1）當
時，求以
為焦點，且過
中點的橢圓的標準方程；
（2）過點作直線
交
于點
，記
的外接圓為圓
.
①求證:圓心在定直線
上；
②圓是否恒過異于點
的一個定點?若過，求出該點的坐標；若不過，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知
、
分別是橢圓
: 
的左、右焦點，點
在直線
上，線段
的垂直平分線經過點
．直線
與橢圓交于不同的兩點
、
，且橢圓上存在點
，使
，其中
是坐標原點，
是實數．
（Ⅰ）求的取值范圍；
（Ⅱ）當取何值時，
的面積最大？最大面積等于多少？
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；（2）詳見試題解析．
的值，進而可得橢圓的標準方程；（2）利用平面向量的坐標運算和待定系數法可得線段
２分
. ４分
橢圓的方程為
，則
，
． 6分
,即
． ７分
， ８分
，故
． ９分
， 10分
，11分
上． 12分
:
及拋物線
:
,過圓心
,此直線與上述兩曲線的四個交點,自上而下順次記為
,如果線段
的長按此順序構成一個等差數列,求直線