Question

（2011•鐘祥市模擬）已知圓C：x²+y²=1，點P（x₀，y₀）在直線x-y-2=0上，O為坐標原點，若圓C上存在點Q，使∠OPQ=30°，則x₀的取值范圍是（　　）

A．[-1，1]

B．[0，1]

C．[-2，2]

D．[0，2]

Answer 1

分析：根據圓的切線的性質，可知當過P點作圓的切線，切線與OP所成角是圓上的點與OP所成角的最大值，所以只需此角大于等于30°即可，此時半徑，切線與OP構成直角三角形，因為切線與OP所成角大于等于30°所以OP小于等于半徑的2倍，再用含x₀的式子表示OP，即可求出x₀的取值范圍．

解答：解：過P作⊙C切線交⊙C于R，根據圓的切線性質，有∠OPR≥∠OPQ=30°．
反過來，如果∠OPR≥30°，則存在⊙C上點Q使得∠OPQ=30°．
∴若圓C上存在點Q，使∠OPQ=30°，則∠OPR≥30°
∵|OR|=1，∴|OP|＞2時不成立，∴|OP|≤2．
∵|OP|²=x₀²+y₀2=x₀²+（x₀-2）²=2x₀²-4x₀+2
∴2x₀²-4x₀+2≤2，解得，0≤x₀²≤2∴x₀的取值范圍是[0，2]
故選D

點評：本題主要考查了直線與圓相切時切線的性質，以及一元二次不等式的解法，綜合考察了學生的轉化能力，計算能力．