Question

如圖，已知是底面為正方形的長方體，
，，點是上的動點．
（1）試判斷不論點在上的任何位置，是否都有平面
垂直于平面？并證明你的結論；
（2）當為的中點時，求異面直線與所成角的余弦值；
（3）求與平面所成角的正切值的最大值．

Answer 1

（1）不論點在上的任何位置，都有平面垂直于平面.
證明如下：由題意知，，  又 
平面 又平面  平面平面．
（2）解法一：過點P作，垂足為，連結（如圖），則，
是異面直線與所成的角．
在中 ∵   ∴
∴,  ，      
． 又．
在中，  ．
異面異面直線與所成角的余弦值為．
解法二：以為原點，所在的直線為x軸建立空間直角坐標系如圖示，則，，，，，
∴．
∴異面異面直線與所成角的余弦值為．
（3）由（1）知，平面，是與平面所成的角，
且．
當最小時，最大，這時，由
得，即與平面所成角的正切值的最大值．

略