Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（Ⅰ）若，當(dāng)時，求的單調(diào)遞減區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)有唯一的零點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）和（2）

【解析】試題分析：（1）求具體函數(shù)單調(diào)區(qū)間，一是明確定義區(qū)間，二是正確求出導(dǎo)數(shù)，三是在定義區(qū)間上求導(dǎo)函數(shù)零點，四是列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律，得出結(jié)論（2）研究函數(shù)零點，首先分析、調(diào)整函數(shù)，使研究對象簡單化、易求化： ，其次利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性：構(gòu)造函數(shù)則當(dāng)時， 單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增，最后結(jié)合圖像根據(jù)交點個數(shù)確定參數(shù)范圍

試題解析：解：（1）定義域為，

的單調(diào)遞減區(qū)間是和．

（2）問題等價于有唯一的實根

顯然，則關(guān)于x的方程有唯一的實根

構(gòu)造函數(shù)則

由得

當(dāng)時，單調(diào)遞減

當(dāng)單調(diào)遞增

所以的極小值為

如圖，作出函數(shù)的大致圖像，則要使方程的唯一的實根，

只需直線與曲線有唯一的交點，則或

解得

故實數(shù)a的取值范圍是