Question

已知ABEDFC為多面體，平面ABED與平面ACFD垂直，點O在線段AD上，OA=1，OD=2，△OAB， △OAC， △ODE， △ODF都是正三角形.
（Ⅰ）證明直線BC∥EF;
（Ⅱ）求棱錐F-OBED的體積.

Answer 1

（Ⅰ）（方法一）證明：設G是線段DA與線段EB延長線的交點，
由于△OAB與△ODE都是正三角形，所以OB∥,OB=,OG=OD=2
同理，設G′是線段DA與線段FC延長線的交點，有OG′=OD=2，
又由于G和G′都在線段DA的延長線上，所以G與G′重合。
在△GED和△GFD中，由OB∥,OB=和OC∥, OC=,
可知B,C分別是GE和GF的中點，
所以BC是△GEF的中位線，
故BC∥EF.

（方法二）過點F作FQ⊥AD,交AD于點Q，連QE，
由平面ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED,
以Q為坐標原點，為x軸正向，為y軸正向，為z軸正向，建立空間直角坐標系。
由條件知E(，0,0)，F（0,0，），B（，-，0），
C（0，-),）。
則有，.。
所以，即得BC∥EF.

（Ⅱ）解：由OB=1，OE=2，∠EOB=60°，知S_EOB=
而△OED是邊長為2的正三角形，故S_OED=
所以S_OBED=S_EOB+S_OED=。
過點F作FQ⊥AD，交AD于點Q，
由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱錐F-OBED的高，且FQ=，
所以V_F-OBED=FQ·S_OBED=。