Question

已知圓C與兩坐標軸都相切，圓心C到直線y=-x的距離等于

2

．
（1）求圓C的方程．
（2）若直線l：

x

m

+

y

n

=1（m＞2，n＞2）與圓C相切，求證：mn≥6+4

2

．

Answer 1

分析：（1）由已知得：

|a|=|b r=|a |a+b 2 = 2

，求出a，b，r 的值，即得圓C方程．
（2）根據直線和圓相切可得

|n+m-mn|

n2+m2

=1，化簡可得m+n=

mn+2

2

，再由基本不等式可得(

mn

)2-4

mn

+2≥0，解得

mn

≥2+

2

，從而得到mn≥6+4

2

．

解答：解：（1）設圓C半徑為r，由已知得：

|a|=|b r=|a |a+b 2 = 2

，∴

a=b=1 r=1

，或

a=b=-1 r=1

，
∴圓C方程為（x-1）²+（y-1）²=1，或（x+1）²+（y+1）²=1．
（2）直線l方程為nx+my-mn=0，∵直線l與圓C：（x-1）²+（y-1）²=1相切，∴

|n+m-mn|

n2+m2

=1，
∴（n+m-mn）²=n²+m²，左邊展開，整理得，mn=2m+2n-2．∴m+n=

mn+2

2

．
∵m＞0，n＞0，m+n≥2

mn

，∴

mn+2

2

≥2

mn

，∴(

mn

)2-4

mn

+2≥0，
∴

mn

≥2+

2

，或

mn

≤2-

2

．∵m＞2，n＞2，∴

mn

≥2+

2

，
∴mn≥6+4

2

．

點評：本題考查圓的標準方程，直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，基本不等式的應用，得到m+n=

mn+2

2

是解題的
關鍵．