Question

f(x)=

x

1+x2

是定義在（-1，1）上的函數(shù)
（1）用定義證明f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（2）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

分析：（1）任取（-1，1）上的兩實(shí)數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，利用實(shí)數(shù)的性質(zhì)分析f（x₁），f（x₂）的大小，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，可得結(jié)論；
（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義，分析函數(shù)的奇偶性，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)不等式進(jìn)行變形，可得答案．

解答：解：（1）設(shè)x₁，x₂為（-1，1）內(nèi)任意兩實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

x1(1+x22)-x2(1+x12)

(1+x12)(1+x22)

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

又因?yàn)?1＜x₁＜x₂＜1，
所以x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）
所以函數(shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；-----------------------------------（5分）
（2）由函數(shù)f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)且f（t-1）+f（t）＜0得：
f（t-1）＜-f（t）=f（-t）
又由（1）可知函數(shù)f（x）是定義在（-1，1）的增函數(shù)，
所以有

-1＜t-1＜1 -1＜t＜1 t-1＜-t

⇒0＜t＜

1

2

．---------------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)及函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)的奇偶性的判斷與應(yīng)用，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，熟練掌握函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義是解答的關(guān)鍵．