Question

已知命題p：?a，b∈（0，+∞），當(dāng)a+b=1時(shí)，

1

a

+

1

b

=3；命題q：?x∈R，x²-x+1≥0恒成立．則命題?p且q是

真

命題（填“真”或“假”）．

Answer 1

分析：對(duì)于命題p，可以利用基本不等式求出當(dāng)正數(shù)a、b滿足a+b=1時(shí)，

1

a

+

1

b

的最小值為4，從而

1

a

+

1

b

=3不能成立，得到p是假命題；再看命題q，通過配方可得x²-x+1的最小值為

3

4

，從而不等式x²-x+1≥0恒成立，得到命題q是真命題．由此不難得出正確結(jié)論．

解答：解：先看命題p：
∵a，b∈（0，+∞），且a+b=1
∴

1

a

+

1

b

=(a+b)(

1

a

+

1

b

)=2+

b

a

+

a

b

而

b

a

+

a

b

≥2

b a • a b

=2，當(dāng)且僅當(dāng)正數(shù)a=b時(shí)取值等號(hào)
∴

1

a

+

1

b

的最小值為4，
說明命題p：：?a，b∈（0，+∞），當(dāng)a+b=1時(shí)，

1

a

+

1

b

=3是錯(cuò)誤的；
再看命題q：
∵x²-x+1=(x-

1

2

) 2 +

3

4

≥

3

4

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

2

時(shí)取值等號(hào)
∴命題q：?x∈R，x²-x+1≥0恒成立，是真命題．
∵p是假命題，說明?p是真命題，并且q是真命題
∴?p且q是真命題
故答案為：真

點(diǎn)評(píng)：本題以不等式恒成立和函數(shù)的值域?yàn)檩d體，考查了復(fù)合命題真假的判斷，屬于中檔題．