Question

長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的側棱AA₁=a，底面ABCD的邊長AB=2a，BC=a，E為C₁D₁的中點；
（1）求證：DE⊥平面BCE；
（2）求二面角E-BD-C的正切值．

Answer 1

（1）∵AA₁=a，AB=2a，BC=a，E為C₁D₁的中點；
∴DE=CE=

2

a，⇒DE⊥CE，
又∵DB=

5

a，EB=

3

a，
∴DE⊥EB，
又因為CE∩EB=E
所以DE⊥平面BCE
（2）取DC的中點F，則EF⊥平面BCD，作FH⊥BD于H，連EH，
則∠EHF就是二面角E-BD-C的平面角，
由題意得EF=a，
在Rt△DFH中，HF=

5

5

a
所以tan∠EHF=

5

．