已知
是橢圓
上兩點，點
的坐標為
.
（1）當
關于點
對稱時，求證：
；
（2）當直線
經過點
時，求證：
不可能為等邊三角形.
（1）詳見解析，（2）詳見解析.
解析試題分析：（1）利用“點代法”求點的坐標關系，在求解過程中證明結論.因為關于點對稱，所以
，代入橢圓方程得
，兩式相減得
，所以
（2）本題實質為“弦中點”問題，設中點為
，由“點差法”得
又假設為等邊三角形時，有
所以
這與弦中點在橢圓內部矛盾，所以假設不成立.
試題解析：（1）證明：
因為
在橢圓上，
所以
1分
因為關于點對稱，
所以
， 2分
將
代入②得
③，
由①和③消
解得， 4分
所以
. 5分
（2）當直線
斜率不存在時，
，
可得
，
不是等邊三角形. 6分
當直線斜率存在時，顯然斜率不為0.
設直線：
，中點為，
聯立
消去
得
， 7分
由
，得到
① 8分
又
,
所以
，
所以
10分
假設為等邊三角形，則有
，
又因為
，
所以
，即
， 11分
化簡
，解得
或
12分
這與①式矛盾，所以假設不成立.
因此對于任意
不能使得,故不能為等邊三角形. 14分
考點：弦中點問題，點代法求點的坐標
名師伴你成長課時同步學練測系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的一個頂點和兩個焦點構成的三角形的面積為4．
（1）求橢圓
的方程；
（2）已知直線
與橢圓交于
、
兩點，試問，是否存在
軸上的點
，使得對任意的
，
為定值，若存在，求出
點的坐標，若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，橢圓
的中心為原點
，長軸在
軸上，離心率
，又橢圓上的任一點到橢圓的兩焦點的距離之和為
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若平行于
軸的直線
與橢圓相交于不同的兩點
、
，過、兩點作圓心為
的圓，使橢圓上的其余點均在圓外.求
的面積
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的離心率
，長軸的左右端點分別為
，
.
（1）求橢圓的方程；
（2）設動直線
與曲線有且只有一個公共點
，且與直線
相交于點
.
求證：以
為直徑的圓過定點
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（1）已知定點
、
，動點N滿足
（O為坐標原點），
，
，
，求點P的軌跡方程.
（2）如圖，已知橢圓
的上、下頂點分別為
，點
在橢圓上，且異于點，直線
與直線
分別交于點
，
（ⅰ）設直線的斜率分別為
、
，求證：
為定值；
（ⅱ）當點運動時，以
為直徑的圓是否經過定點？請證明你的結論．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，圓
與直線
相切于點
，與
正半軸交于點
，與直線
在第一象限的交點為
.點
為圓上任一點，且滿足
，動點
的軌跡記為曲線
．
（1）求圓的方程及曲線的方程；
（2）若兩條直線
和
分別交曲線于點
、
和
、
，求四邊形
面積的最大值，并求此時的
的值．
（3）證明：曲線為橢圓，并求橢圓的焦點坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知焦點在
軸上的橢圓
經過點
，直線
交橢圓于
不同的兩點．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）求實數
的取值范圍；
（3）是否存在實數，使△
是以
為直角的直角三角形，若存在，求出的值，若不存，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線D的頂點是橢圓C：
＝1的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合．
(1)求拋物線D的方程；
(2)過橢圓C右頂點A的直線l交拋物線D于M、N兩點．
①若直線l的斜率為1，求MN的長；
②是否存在垂直于x軸的直線m被以MA為直徑的圓E所截得的弦長為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說明理由．
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，C為圓B上任意一點，求AC垂直平分線與線段BC的交點P的軌跡方程。