Question

【題目】如圖，某市有一條東西走向的公路l，現(xiàn)欲經(jīng)過公路l上的O處鋪設(shè)一條南北走向的公路m，在施工過程中發(fā)現(xiàn)O處的正北方向1百米的A處有一漢代古跡，為了保護古跡，該市委決定以A為圓心，1百米為半徑設(shè)立一個圓形保護區(qū)，為了連通公路l，m，欲再新建一條公路PQ，點P，Q分別在公路l，m上（點P，Q分別在點O的正東、正北方向），且要求PQ與圓A相切.

（1）當(dāng)點P距O處2百米時，求OQ的長；

（2）當(dāng)公路PQ的長最短時，求OQ的長.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意，建立直角坐標(biāo)系，然后利用直線與圓的相切列出關(guān)于關(guān)于q的方程解之即可；

（2）利用截距式方程給出直線的方程，然后利用直線與圓相切找到兩個待定系數(shù)間的關(guān)系，再利用勾股定理將PQ表示成關(guān)于q的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求其最值即可

試題解析：如圖，以O(shè)為原點、直線l，m分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)P（p, 0），Q（0, q）且PQ與圓A相切于點B，連結(jié)AB，以1百米為單位長度，則圓A的方程為

（1）由題意可設(shè)直線PQ的方程為，

即

因為PQ與圓A相切，

所以，解得，

故當(dāng)點P與O處2百米時，OQ的長為百米.

（2）設(shè)直線PQ的方程為，

即.

因為PQ與圓A相切，

所以，化簡得

在Pt△POQ中，.

令

則

當(dāng)時，，即f(q)在（上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，即f(q)在上單調(diào)遞增.

所以f(q)在時取得最小值，

故當(dāng)公路PQ的長最短時，OQ的長為百米.

答：（1）當(dāng)點P距O處2百米時，OQ的長為百米；（2）當(dāng)公路PQ的長最短時，OQ的長為百米.