Question

如圖，已知的直徑，點、為上兩點，且，，為弧的中點．將沿直徑折起，使兩個半圓所在平面互相垂直（如圖2）．

（1）求證：；
（2）在弧上是否存在點，使得平面？若存在，試指出點的位置；若不存在，請說明理由；
（3）求二面角的正弦值.

Answer 1

(1)證明過程詳見解析（2）在弧上存在點,且點為弧的中點;（3）。

試題分析：（1）連結CO，則CO⊥AB，證明∠FOB=∠CAB，從而得出OF∥AC；（2）找出弧BD的中點G，證明OG∥AD，由（1）知，OF∥AC，先證明線面平行，在證明面面平行；（3）用三垂線法作出二面角C-AD—B的平面角，再通過解三角形，求出二面角平面角的余弦值，或建立空間直角坐標系，利用向量法證明平行和求二面角.
試題解析:（法一）：證明：（1）如右圖，連接，
，，
又為弧的中點，，．
（2）取弧的中點，連接，
則，故，
由（1），知平面，故平面平面，
則平面，因此，在弧上存在點，使得平面，且點為弧的中點．
（3）過作于，連．
因為，平面平面，故平面．
又因為平面，故，所以平面，，
則是二面角的平面角，又，，故．
由平面，平面，得為直角三角形，
又，故，可得==，故二面角的正弦值為.
（法二）：證明：（1）如圖，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以為原點，作空間直角坐標系，

則，
，
點為弧的中點，點的坐標為，
，，即．
（2）設在弧上存在點，使得平面，
由（1），知平面，平面平面，則有．
設，，．又，
，解得(舍去)．，則為弧的中點．
因此，在弧上存在點，使得平面，且點為弧的中點．
（3），點的坐標，．
設二面角的大小為，為平面的一個法向量．
由有即
取，解得，．，取平面的一個法向量，
，故二面角的正弦值為.