Question

設f（x）為定義域為R的函數，對任意x∈R，都滿足：f（x+1）=f（x-1），f（1-x）=f（1+x），且當x∈[0，1]時，f（x）=3^x-3^-x．
（1）請指出f（x）在區間[-1，1]上的奇偶性、單調區間、最大（小）值和零點，并運用相關定義證明你關于單調區間的結論；
（2）試證明f（x）是周期函數，并求其在區間[2k-1，2k]（k∈Z）上的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）f（x+1）=f（x-1），f（1-x）=f（1+x）⇒f（x-1）=f（1-x），從而可得函數為偶函數，且關于x=1對稱，當x∈[0，1]時，f（x）=3^x-3^-x在x∈[0，1]時，單調遞增，從而可得函數單調遞增區間：[0，1]；單調遞減區間：[-1，0]；零點：x=0；單調區間的證明的證明可以利用定義證明可先證明在[0，1]上單調性，要證明f（x）在區間[-1，0]上是遞減函數時，
（法一）：利用定義法，任取的x₁，x₂∈[-1，0]，x₁＜x₂，通過判斷判定 f（x₁）-f（x₂）的符號來判定f（x₁）與f（x₂）大小，進而判定函數的單調性
（法二）：根據偶函數的性質可知，偶函數在對稱區間上的單調性相反，由于f（x）在[0，1]上單調遞增，故可證函數在[-1，0]上單調遞減
（2）由f（x+2）=f[（1+x）+1]=f[（1+x）-1]=f（x）可得2是f（x）周期，當x∈[2k-1，2k]時，2k-x∈[0，1]，代入可得f（x）=f（-x）=f（2k-x）=3^2k-x-3^x-2k
解答：解：（1）偶函數；．（1分）  最大值為、最小值為0；..（1分）
單調遞增區間：[0，1]；單調遞減區間：[-1，0]；（1分）
零點：x=0．（1分）
單調區間證明：
當x∈[0，1]時，f（x）=3^x-3^-x．
設x₁，x₂∈[0，1]，x₁＜x₂，=
證明f（x）在區間[0，1]上是遞增函數
由于函數y=3^x是單調遞增函數，且3^x＞0恒成立，
所以，，∴f（x₁）-f（x₂）＜0
所以，f（x）在區間[0，1]上是增函數．（4分）
證明f（x）在區間[-1，0]上是遞減函數
【證法一】因為f（x）在區間[-1，1]上是偶函數．
對于任取的x₁，x₂∈[-1，0]，x₁＜x₂，有-x₁＞-x₂＞0f（x₁）-f（x₂）=f（-x₁）-f（-x₂）＞0
所以，f（x）在區間[-1，0]上是減函數（4分）
【證法二】設x∈[-1，0]，由f（x）在區間[-1，1]上是偶函數，得f（x）=f（-x）=3^-x-3^x．
以下用定義證明f（x）在區間[-1，0]上是遞減函數..（4分）
（2）設x∈R，f（x+2）=f[（1+x）+1]=f[（1+x）-1]=f（x），
所以，2是f（x）周期．（4分）
當x∈[2k-1，2k]時，2k-x∈[0，1]，
所以f（x）=f（-x）=f（2k-x）=3^2k-x-3^x-2k..（4分）
點評：本題是一道綜合了函數的對稱性、周期性、奇偶性、單調性、及函數解析式的求解等知識的綜合應用的試題，要求考生熟練掌握基礎知識，并能運用知識解決綜合問題的邏輯推理的能力．