Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，點在拋物線上，直線與拋物線C交于A，B兩點，且直線OA，OB的斜率之和為．

（1）求a和k的值；

（2）若，設直線與y軸交于D點，延長MD與拋物線C交于點N，拋物線C在點N處的切線為n，記直線n，與x軸圍成的三角形面積為S．求S的最小值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）將點代入拋物線，得，設，，，將直線的方程與拋物線方程聯立，可得出的值.

（2）由（1）得直線的方程，可得，所以，則直線DM的方程為：，聯立，可得到，利用導數求出切線n的方程，解出點的坐標,得到三角形的面積表達式，利用導數求出最大值.

解：（1）將點代入拋物線，得，

由，得，

設，，

則，，

故

由已知直線OA．OB的斜率之和為，故；

（2）在直線的方程中，

令得，，

直線DM的方程為：，

即

由，得，

解得：或，所以，

由，得，，

切線n的斜率，

切線n的方程為：，即，

由，得直線l、n交點Q，縱坐標

設直線，與x軸的交點，，

在直線，方程中令.

得到點，，

所以，

，．

當，函數單調遞減；當時，函數單調遞增；

∴當時，S最小值為．