Question

在橢圓內有一點P（1，-1），F為橢圓右焦點，在橢圓上有一點M，使|MP|+2|MF|的值最小，則M的坐標    ．

Answer 1

【答案】分析：根據橢圓的方程求得橢圓離心率為e=，右準線方程：x=4．作出橢圓的右準線l，過M點作MN⊥l于N，根據圓錐曲線的統一定義，得，所以2|MF|=|MN|，欲求|MP|+2|MF|的最小值，即求|MP|+|MN|的最小值．作PN⊥l于N，交橢圓于M，由平幾知識可得，當動點M在橢圓上運動，與點M重合時，|MP|+|MN|取到最小值．最后設出點M的坐標，代入橢圓方程，解之即可得到使|MP|+2|MF|的值最小的點M的坐標．
解答：解：∵橢圓方程為，
∴a²=4，b²=3，可得
所以橢圓的離心率e=，右準線方程：x=
作出橢圓的右準線l如圖，過M點作MN⊥l于N，
根據圓錐曲線的統一定義，得，
∴2|MF|=|MN|，所以|MP|+2|MF|=|MP|+|MN|．
欲求|MP|+2|MF|的最小值，即求|MP|+|MN|的最小值，
過P（1，-1）作PN⊥l于N，交橢圓于M，由平面幾何知識可得，當動點M在橢圓上運動，與點M重合時，|MP|+2|MF|取到最小值．
設M（x，-1），代入橢圓方程得，解之得x=（舍負）
∴使|MP|+2|MF|的值最小的點M的坐標為（，-1）．
故答案為：（，-1）．
點評：本題以橢圓中求距離和的最小值的問題為載體，著重考查了橢圓的基本概念和圓錐曲線的統一定義等知識點，屬于中檔題．