Question

已知定義在區間上的函數y=f（x）圖象關于直線對稱，當時，f（x）=-sinx．
（1）作出y=f（x）的圖象；
（2）求y=f（x）的解析式；
（3）若關于x的方程有解，將方程所有的解的和記為M，結合（1）中函數圖象，求M的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據圖象的對稱性做出y=f（x）的圖象．
（2）任取x∈[-π，]，則-x∈[，]，由題意得．再根據當時，f（x）=-sinx，
求出解析式．
（3）因為-∈（-1，-），f（x）=- 有4個根滿足 x₁＜x₂＜＜x₃＜x₄，利用對稱性求出M的值．
解答：解：（1）y=f（x）的圖象如圖所示．
（.4分）
（2）任取x∈[-π，]，則-x∈[，]，由于函數f（x）圖象關于直線對稱，
則．（6分）
又當時，f（x）=-sinx，則=-sin（-x）=-cosx，（8分）
即．（10分）
（3）因為-∈（-1，-），f（x）=- 有4個根滿足 x₁＜x₂＜＜x₃＜x₄，（12分）
由對稱性得，x₁+x₂=0，x₃+x₄=π，則M=x₁+x₂ +x₃+x₄=π．（14分）
點評：本題主要考查正弦函數的圖象，根的存在性及根的個數判斷，以及函數與方程的思想，解答關鍵是運用數形結合的思想，屬于中檔題．