Question

如圖所示為某幾何體的直觀圖和三視圖，上半部分是四棱錐P-EFGH，下半部分是長方體ABCD-EFGH．
（1）求該幾何體的體積；
（2）證明：直線BD⊥平面PEG．

Answer 1

分析：（1）由題意知該幾何體的體積V=V_P-EFGH+V_ABCD-EFGH，由此能求出該幾何體的體積．
（2）連接EG，HF，BD，EG∩HF=O，連接PO，由正四棱錐的性質知：PO⊥平面EFGH，故PO⊥HF，所以HF⊥平面PEG，再由BD∥HF，能夠證明BD⊥平面PEG．

解答：解：（1）由題意知該幾何體的體積
V=V_P-EFGH+V_ABCD-EFGH
=

1

3

×202×30+20²×10
=8000（m²）．
（2）如圖，連接EG，HF，BD，EG∩HF=O，
連接PO，由正四棱錐的性質知：
PO⊥平面EFGH，∴PO⊥HF，
又∵EG⊥HF，∴HF⊥平面PEG，
又∵BD∥HF，∴BD⊥平面PEG．

點評：本題考查幾何體的體積的求法，考查直線與平面垂直的證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．