Question

設函數f(x)=

1

3

x3-ax（a＞0），g（x）=bx²+2b-1．
（1）若曲線y=f（x）與y=g（x）在它們的交點（1，c）處有相同的切線，求實數a，b的值；
（2）當b=

1-a

2

時，若函數h（x）=f（x）+g（x）在區間（-2，0）內恰有兩個零點，求實數a的取值范圍；
（3）當a=1，b=0時，求函數h（x）=f（x）+g（x）在區間[t，t+3]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）求導數，根據曲線y=f（x）與y=g（x）在它們的交點（1，c）處有相同切線，建立方程，即可求實數a，b的值；
（2）求導數，確定h（x）在區間（-2，-1）內單調遞增，在區間（-1，0）內單調遞減，再利用函數h（x）在區間（-2，0）內恰有兩個零點，當且僅當

h(-2)＜0 h(-1)＞0 h(0)＜0.

，即可求實數a的取值范圍；
（3）確定函數h（x）的單調遞增區間為（-∞，-1），（1，+∞），單調遞減區間為（-1，1），分類討論，即可得出函數h（x）=f（x）+g（x）在區間[t，t+3]上的最小值．

解答：解：（1）因為f(x)=

1

3

x3-ax，g（x）=bx²+2b-1，
所以f′（x）=x²-a，g′（x）=2bx．…（1分）
因為曲線y=f（x）與y=g（x）在它們的交點（1，c）處有相同切線，
所以f（1）=g（1），且f'（1）=g'（1）．
即

1

3

-a=b+2b-1，且1-a=2b，…（2分）
解得a=

1

3

，b=

1

3

．…（3分）
（2）當a=1-2b時，h(x)=

1

3

x3+

1-a

2

x2-ax-a（a＞0），
所以h'（x）=x²+（1-a）x-a=（x+1）（x-a）．…（4分）
令h'（x）=0，解得x₁=-1，x₂=a＞0．
當x變化時，h'（x），h（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，a）	a	（a，+∞）
h'（x）	+	0	-	0	+
h（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以函數h（x）的單調遞增區間為（-∞，-1），（a，+∞），單調遞減區間為（-1，a）．…（5分）
故h（x）在區間（-2，-1）內單調遞增，在區間（-1，0）內單調遞減．…（6分）
從而函數h（x）在區間（-2，0）內恰有兩個零點，當且僅當 

h(-2)＜0 h(-1)＞0 h(0)＜0.

…（7分）
即

- 8 3 +2(1-a)+2a-a＜0 - 1 3 + 1-a 2 +a-a＞0 -a＜0.

解得0＜a＜

1

3

．
所以實數a的取值范圍是(0，

1

3

)．…（8分）
（3）當a=1，b=0時，h(x)=

1

3

x3-x-1．
所以函數h（x）的單調遞增區間為（-∞，-1），（1，+∞），單調遞減區間為（-1，1）．
由于h(-2)=-

5

3

，h(1)=-

5

3

，所以h（-2）=h（1）．…（9分）
①當t+3＜1，即t＜-2時，…（10分）[h（x）]_min=h(t)=

1

3

t3-t-1．…ks5u…（11分）
②當-2≤t＜1時，[h（x）]_min=h(1)=-

5

3

．…（12分）
③當t≥1時，h（x）在區間[t，t+3]上單調遞增，[h（x）]_min=h(t)=

1

3

t3-t-1．…（13分）
綜上可知，函數h（x）在區間[t，t+3]上的最小值為[h（x）]_min=

1 3 t3-t-1，t∈(-∞，-2)∪[1，+∞) - 5 3 ，t∈[-2，1).

…（14分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．