Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，過點P(0，1)且互相垂直的兩條直線分別與圓O：交于點A，B，與圓M：(x﹣2)2＋(y﹣1)2＝1交于點C，D．

（1）若AB＝，求CD的長；

（2）若CD中點為E，求△ABE面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）先由AB的長度求出圓心O到直線AB的距離，列方程求出直線AB的斜率，從而得到直線CD的斜率，寫出直線CD的方程，用垂徑定理求CD得長度；（2）△ABE的面積，先考慮直線AB、CD平行于坐標軸的情況，不平行時先由垂徑定理求出AB，再在△PME 中用勾股定理求出PE，將面積S表示成直線AB斜率k的函數式，再求其范圍.

解：（1）因為AB＝，圓O半徑為2

所以點O到直線AB的距離為

顯然AB、CD都不平行于坐標軸

可設AB：，即

則點O到直線AB的距離，解得

因為AB⊥CD，所以

所以CD：，即

點M（2,1）到直線CD的距離

所以

（2）當AB⊥x軸，CD∥x軸時，此時AB=4，點E與點M重合，PM=2，所以△ABE的面積S=4

當AB∥x軸，CD⊥x軸時，顯然不存在，舍

當AB與CD都不平行于坐標軸時

由（1）知

因為，所以

因為點E是CD中點，所以ME⊥CD，

所以

所以△ABE的面積

記，則

則

綜上所述：