Question

已知函數f（x）=ax-2lnx，a∈R．
（Ⅰ）當a=3時，求函數f（x）在（1，f（1））的切線方程．
（Ⅱ）求函數f（x）的極值．
（Ⅲ）對于曲線上的不同兩點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），如果存在曲線上的點Q（x₀，y₀），且x₁＜x₀＜x₂，使得曲線在點Q處的切線l∥P₁P₂，則稱l為弦P₁P₂的伴隨切線．當a=2時，已知兩點A（1，f（1）），B（e，f（e）），試求弦AB的伴隨切線l的方程．

Answer 1

分析：（I）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（II）首先對函數求導，使得導函數等于0，解出x的值，分兩種情況討論：當a≤0時，當a＞0時，列表做出函數的極值點，求出極值．
（III）設出切點坐標，根據坐標表示出切線的斜率，然后把切點的橫坐標代入到曲線的導函數中得到切線的斜率，根據伴隨切線的含義寫出弦AB的伴隨切線l的方程即可；

解答：解：（I）當a=3時，f（x）=3x-2lnx，則f（1）=3，f′(x)=3-

2

x

∴f'（1）=1
∴切線方程為y-3=x-1即x-y+2=0…（4分）
（Ⅱ）f′(x)=a-

2

x

，x＞0．
當a≤0時，f'（x）＜0，函數f（x）在（0，+∞）內是減函數，∴函數f（x）沒有極值．        …（6分）
當a＞0時，令f'（x）=0，得x=

2

a

．
當x變化時，f'（x）與f（x）變化情況如下表：

x	(0， 2 a )	2 a	( 2 a ，+∞)
f'（x）	-	0	+
f（x）	單調遞減	極小值	單調遞增

∴當x=

2

a

時，f（x）取得極小值f(

2

a

)=2-2ln

2

a

．
綜上，當a≤0時，f（x）沒有極值；
當a＞0時，f（x）的極小值為2-2ln

2

a

，沒有極小值．…（9分）
（Ⅲ）當a=2時，設切點Q（x₀，y₀），則切線l的斜率為f′(x0)=2-

2

x0

，x0∈(1，e)．
弦AB的斜率為kAB=

f(e)-f(1)

e-1

=

2(e-1)-2(1-0)

e-1

=2-

2

e-1

． …（10分）
由已知得，l∥AB，則2-

2

x0

=2-

2

e-1

，解得x₀=e-1，…（12分）
所以，弦AB的伴隨切線l的方程為：y=

2e-4

e-1

x+2-2ln(e-1)．…（14分）

點評：本題考查利用導數研究曲線上某點切線方程、函數極值的求法，本題解題的關鍵是對函數求導，求出導函數等于0時對應的變量的取值，再進行討論，本題是一個中檔題目，這個知識點一般出現在綜合題目中．