Question

設F₁，F₂是雙曲線的兩個焦點．若此雙曲線上存在點P滿足|PF₁|=3|PF₂|，則該雙曲線的離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：可設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0），由于雙曲線上存在點P滿足|PF₁|=3|PF₂|，則P在右支上，且|PF₂|≥c-a，再由雙曲線的定義，結合條件，可得|PF₂|=a，再由離心率公式，即可求得范圍．

解答： 解：可設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0），
則F₁（-c，0），F₂（c，0），
由于雙曲線上存在點P滿足|PF₁|=3|PF₂|，
則P在右支上，且|PF₂|≥c-a，
由雙曲線的定義可知|PF₁|-|PF₂|=2a，
即有|PF₂|=a，由a≥c-a，即有

c

a

≤2，
則1＜e≤2．
則離心率的范圍是（1，2]．
故答案為：（1，2]

點評：本題考查雙曲線方程、定義和性質，考查離心率公式的運用和范圍，考查運算能力，屬于中檔題．